順列・組み合わせを式つきで同時に計算する手順

「10 人から 3 人を選ぶと何通りになるか」という問題で手が止まるのは、計算そのものではなく式の選び方です。 順列と組み合わせのどちらを使うかで、答えは 720 通りにも 120 通りにも変わります。

順列・組み合わせ計算ツールは、その 4 通りの数え方をまとめて出します。 どれを見ればよいか決めきれないままでも、答えを並べて見比べられます。

4 つの数え方をまとめて見るとどう違うか

全体の数と選ぶ数を入れると、順列・組み合わせ・重複順列・重複組合せの通り数が同時に並びます。 同じ「10 個から 3 個」でも、条件が変われば答えは 4 つに分かれます。

10 人から 3 人を選ぶ場合、順列は 720 通り、組み合わせは 120 通りです。 重複順列は 1,000 通り、重複組合せは 220 通りになります。

分かれ目は「並び順を区別するか」と「同じものを繰り返し選べるか」の 2 点だけです。 カードの見出しの下に、その条件を 1 行で書いてあります。

条件チェックで見るカードが決まる

4 枚も並ぶと、どれが自分の問題の答えなのか分からなくなります。 そこで入力欄の下に「あなたの数えたい条件」のチェックを 2 つ置きました。

「並び順を区別する」を外すと、印が組み合わせのカードへ移ります。 「同じものを何度でも選べる」を入れれば、重複が付く方の数え方へ移ります。

桁があふれる大きさでも正確に数える

場合の数は少し数を増やしただけで急激にふくらみます。 100 個から 50 個を選ぶ組み合わせは、30 桁の数になります。

22 桁を超える答えは、読み取りやすいように概数の指数表記へ切り替えます。 桁を落としたわけではないので、「結果をコピー」を押せば正確な数字がそのまま入ります。

電卓で階乗を打ち込むと、途中で桁があふれて答えが狂うことがあります。 このツールは大きな整数をそのまま扱う仕組みで数えているため、その心配がありません。

使い方は 3 ステップ

1. 「全体の数（n）」に、選ぶ元になるものの個数を入れる
2. 「選ぶ数（r）」に、その中から取り出す個数を入れる
3. 並んだ 4 枚のカードから、条件に合うものを読む

チェックを合わせておけば、3 番の判断も印が代わりにやってくれます。 数字は全角で入れても、桁区切りのカンマを付けても読み取ります。

こんな場面で使う

学校の宿題では、nPr と nCr の答え合わせに向きます。 展開した積が並ぶので、手計算のどこで数を取り違えたかを追えます。

係決めや当番表を作るときは、順番に意味があるかどうかで結果が変わります。 委員長と副委員長を決めるなら順列、平等な委員なら組み合わせです。

暗証番号やパスワードの候補数を見積もるときは、重複順列のカードを読みます。 使える文字の種類を全体の数、桁数を選ぶ数として入れてください。

使用例

たとえば、社内のイベント係が総当たり戦の試合数を出す場面です。 参加チームが 8 つあるとき、全体の数に 8、選ぶ数に 2 を入れます。

組み合わせのカードが 28 通りと出るので、そのまま試合数として日程を組めます。 順番を区別しない数え方だと気づけば、迷いはそこで終わります。

関連ツールと記事

割合や増減率をまとめて出したいときはパーセント・割合計算、数列の平均や標準偏差を出したいときは平均・標準偏差計算が使えます。

順列と組み合わせのどちらを選ぶかで迷いやすい方は、順列と組み合わせの違い｜nPrとnCrの使い分けもあわせてどうぞ。

まとめ

場合の数でつまずくのは、計算より前の「どの数え方か」を決める段階です。 4 通りを同時に並べて条件で印を付ける作りにしたのは、その一歩を軽くするためでした。

入力した数値はブラウザの中だけで処理し、外部サーバーへは送りません。 宿題の答え合わせにも、名簿を使った係決めにも、気兼ねなく使ってください。