くじ引きは先に引くと得？順番と当たる確率を数で確かめる

引いたくじを箱に戻さないくじ引きでは、何番目に引いても当たる確率は同じです。 5本のうち当たりが1本なら、1番目の人も5番目の人も20%です。

「先に引けば得」「残り物には福がある」は、どちらも確率の上では成り立ちません。 変わるのは、前の人が外れたのを見たあとの確率です。

この記事では、順番ごとの確率を分数で数えて確かめます。 あわせて、順番で本当に差が出る引き方も紹介します。

5本に1本のくじを順番ごとに数える

5本のうち当たりが1本のくじを、5人が1本ずつ引くとします。 引いたくじは戻さず、全員が引き終わるまで中身は開けないことにします。

1番目の人が当たる確率は、5本に1本なので1/5です。 2番目の人が当たるには、1番目が外れ（4/5）、残り4本から当たりを引く（1/4）必要があります。

順番	計算	確率
1番目	1/5	20%
2番目	4/5×1/4	20%
3番目	4/5×3/4×1/3	20%
4番目	4/5×3/4×2/3×1/2	20%
5番目	4/5×3/4×2/3×1/2×1	20%

後ろの人ほど、残りの本数は減って当たりやすくなります。 ただし、そこまで当たりが残っている確率も同じだけ下がるので、掛け合わせると毎回1/5に戻ります。

「並べて配る」と考えると同じ確率になる理由が見える

順番に1本ずつ引くのは、5本を箱の中で混ぜて並べ、端から配るのと同じです。 当たりの1本は、5つの位置のどこにも同じように入りえます。

そう考えると、どの位置の人も当たる確率は1/5です。 並べ方を決めたあとで、上から順に受け取っているだけだからです。

抽選・くじ引きツールも、名簿全体を一度に並べ替えて、上から当選にする作りです。 画面の上で、この「並べて配る」をそのまま行います。

前の人の結果を見たあとなら確率は変わる

順番で得をした気がするのは、途中で結果が見えるときです。 1番目の人が外れたと分かれば、2番目の人は残り4本から1本を引くので1/4になります。

5本に1本のくじで、前の人までの結果を知ったあとの確率です。

分かったこと	次の人
1人目が外れ	25%
2人目まで外れ	33.3%
3人目まで外れ	50%
4人目まで外れ	100%
誰かが当たり	0%

外れが続くのを見ていると、後の人ほど有利に感じます。 一方で、前の人が当たれば、後の人の確率は0%に落ちます。

引く前の時点では、この両方の場合を合わせて考えます。 2番目なら「4/5の確率で25%」と「1/5の確率で0%」を合わせて、20%です。

当たりが何本あっても、1人ひとりの確率は同じ

当たりが2本以上でも、考え方は変わりません。 30本のうち当たりが3本なら、何番目に引いても3/30、つまり10%です。

ここで混ざりやすいのが「最初の当たりが何番目に出るか」という別の数です。 30本に3本のくじで、最初の当たりが出る順番の確率を数えました。

最初の当たり	確率
1番目	10.0%
2番目	9.3%
3番目	8.6%
10番目	4.7%

最初の当たりは、前のほうの順番で出やすくなっています。 それでも後の人が損をしないのは、2本目と3本目の当たりが後ろに残っているからです。

「早い番号で当たりが出やすい」と「早い番号の人ほど当たりやすい」は、別のことを言っています。 1人ひとりの当たりやすさは、どの順番でも10%のままです。

何人かで引いて、少なくとも1人が当たる確率も数えられます。 30本に3本のくじを10人で引くと、少なくとも1人が当たる確率は約71.9%です。

この種の計算は、当たる確率計算の「くじの本数で入れる」で確かめられます。 全部の本数に30、当たりの本数に3、引く本数に10を入れると、戻さない場合と戻す場合が並んで出ます。

順番で差が出るのは「当たったら終わり」の引き方

順番が本当に効くのは、全員が引き終わる前に、当たった時点で終わりにする引き方です。 たとえば、2人で順にサイコロを振り、先に6を出したほうが勝つ遊びです。

先に振る人は、1回目に1/6の確率で勝ちます。 後の人が振れるのは、先の人が外したとき（5/6）だけです。

これを最後まで数えると、先に振る人が勝つ確率は6/11（約54.5%）です。 後に振る人は5/11（約45.5%）で、およそ9ポイントの差がつきます。

ただし例外が1つあり、当たりが1本だけの戻さないくじなら、当たったら終わりにしても差は出ません。 当たりの位置は引く前から決まっていて、後ろの人は引く前に外れが決まるだけだからです。

当たりが2本以上あるのに、最初の当たりで終わりにすると話が変わります。 1人ひとりが当たる確率は、前の節の「最初の当たり」の表と同じになります。 30本に3本なら1番目10.0%・10番目4.7%と先の人が有利です。

• 戻さないくじで、全員が引く: 順番の差はない
• 戻さないくじで、当たり1本・当たったら終わり: 順番の差はない
• 戻さないくじで、当たり2本以上・最初の当たりで終わり: 先の人が有利
• 戻すくじで、当たったら終わり: 先の人が有利
• 順に振るサイコロ: 先の人が有利

計算の前提が崩れると順番に意味が出る

ここまでの数は、どのくじも同じように選ばれる前提で数えています。 次のような場面では、その前提が崩れます。

• くじの見分けがつく: 折り方や紙の厚さで当たりが分かる
• 途中で中身を足す: 当たりを後から箱に入れる
• よく混ぜていない: 当たりを入れた位置の近くから引く人がいる

こうした場面では、順番の差は確率ではなく作り方の問題です。 くじは同じ紙・同じ折り方で作り、引く前によく混ぜます。

順番の不公平感をなくす引き方

確率が同じでも、外れが続くのを見せられると、順番に意味があるように感じます。 気持ちの面でも公平にしたいときは、引き方を工夫します。

1. 全員が引き終わるまで、誰も中身を開けない
2. 開けるときは「せーの」で一斉に開ける
3. 引く順番そのものを、別のくじかツールで決める

名簿から当選者を選ぶだけなら、画面で一度に決める方法もあります。 抽選・くじ引きツールに名簿を貼って当選人数を入れると、番号つきで当選者が出ます。

関連記事

• 確率1%を100回やっても当たるのは約63%｜少なくとも1回の求め方
• あみだくじは真下が当たりやすいのかを数字で確かめる
• 名簿を貼るだけで公平に当選者を選ぶ手順