平方根・ルートの計算｜√の中を簡単にする途中式と小数の値
√72を6√2にするように、ルートの中を素因数分解で簡単にする計算ツール。分数・小数の有理化、切り捨てと四捨五入を並べた小数（最大100桁）、開平法の筆算の表まで出します。
1 つの数は 30 桁まで、全体で 80 字までです。√ を書かずに 72 と入れると √72 を計算します。「ルート72」と書いても読みます。
例を入れる
数を入れてください
√72 なら 6√2 のように、ルートの中を簡単にした形と小数の値を出します
このツールについて
使い方・特徴・補足情報
平方根・ルートの計算とは
平方根・ルートの計算は、√72 を 6√2 にするように、ルートの中を簡単にした形を出すツールです。入力した数はブラウザ内だけで処理し、外部サーバーには送信しません。
素因数分解から「2 つ組を √ の外へ出す」までの途中式が段ごとに並びます。√(3/8) や 0.18 のような分数・小数も、分母の √ をなくす有理化まで進めます。
小数の値は、切り捨てと四捨五入を並べて最大 100 桁まで出します。終わらない小数には「=」を付けず、どの桁で丸めたかを添えます。
整数部分の見当（8 < √72 < 9）も同じ画面に出ます。中身が終わる小数で書ける数なら、開平法の筆算の表も出ます。
こんな人におすすめ
平方根を計算する中高生と大人
楽になること
ルートの簡約と小数の値の確認
避けたい手間
途中式の写し間違いと丸めの取り違え
解決できる困りごと
- √ の中に残った 2 つ組の見落としを、素因数分解の式から見つけられる
- 分母に √ が残ったままの答えを、有理化の段と見比べて直せる
- 電卓の 1.4142… を何桁まで写すか迷ったとき、切り捨てと四捨五入の違いを並べて確かめられる
- √3/8 と √(3/8) を取り違えたとき、読み取った式の表示で気づける
- 開平法の筆算で、どの段で立てる数を間違えたかを表から探せる
使い方
- 欄に数を入れます。72 と打てば √72 として読み、√ は欄の横のボタンでも入れられます。
- 大きく出る「簡単にした形」と、小数の値（切り捨て・四捨五入）を確かめます。
- 途中式で、素因数分解・2 つ組の取り出し・有理化を段ごとに見比べます。
- 小数の桁数を 5〜100 桁から選び、開平法の表を開いて筆算の段を確かめます。
- 「答えをコピー」で結果を、「途中式ごとコピー」で筆算の表まで写します。
使用例
√72 を簡単にする
72 を素因数分解して、2 つ組を √ の外へ出す例です。途中式の 2 段目に注目します。
入力
√72
出力
6√2（72 = 2³ × 3² から 2 と 3 を外へ出す）
分数の中身を有理化する
√(3/8) の例です。分母に残った √2 を、分子と分母に √2 を掛けて消す段に注目します。
入力
√(3/8)
出力
√6/4（√3/(2√2) = √3 × √2/(2√2 × √2) = √6/4）
切り捨てと四捨五入が分かれる
√5 を小数第 5 位まで出す例です。第 6 位が 7 なので、2 つの値の最後の桁が分かれる点に注目します。
入力
√5（小数の桁数 5）
出力
切り捨て 2.23606… ／ 四捨五入 2.23607
活用シーン
数学の宿題の答え合わせ
途中式が素因数分解から順に並びます。自分のノートと段ごとに比べて、外へ出し忘れた 2 つ組を探せます。
三平方の定理で出た長さ
直角をはさむ 2 辺が 2 と 4 なら、斜辺は √20 です。2√5 に簡単にした形と、小数の長さを一緒に確かめます。
面積から正方形の 1 辺を出す
面積 50 ㎠ の正方形の 1 辺は √50 cm です。5√2 と、丸め方を添えた小数の長さを並べて寸法に使います。
開平法の練習
筆算の表が段ごとに出ます。下ろした 2 桁と立てる数を、手で書いた筆算と 1 段ずつ照らし合わせます。
√ どうしの大小を比べる
3√2 と 2√3 を入れると、√ 1 つにまとめた √18 と √12 が出ます。中の数を比べれば大小が分かります。
A 判の紙の比を確かめる
A 判の紙は、短い辺と長い辺の比が 1:√2 です。√2 を 20 桁まで出して、寸法の比と照らし合わせます。
技術的な解説
補足: 仕組み
小数の値は Math.sqrt ではなく、BigInt の整数平方根で求めます。y に 10 の 2N 乗を掛けた数の平方根をニュートン法で切り捨てて出すので、100 桁でも桁が欠けません。
四捨五入は「4y × 10^(2N) ≥ (2f + 1)²」という整数どうしの比較で決めます。素因数分解は、試し割り・Miller-Rabin の素数判定・Pollard の rho 法の組み合わせです。
もっと詳しく
「72 の平方根」と「√72」は同じではない
72 の平方根は、2 乗して 72 になる数のことです。6√2 と −6√2 の 2 つがあり、√72 はそのうち正のほうだけを表します。
x² = 72 を解く問題で ± を落とすと、答えが 1 つ足りなくなります。ツールは √ 1 つの入力のとき、± を付けた形も並べて出します。
√2 の小数に「=」を付けない理由
√2 の小数は、どこまで書いても終わらず、くり返しもしません。1.4142135623 は、その先を切り捨てた値です。
四捨五入なら 1.4142135624 で、最後の桁が変わります。このツールは 2 つを並べ、小数がちょうど終わる √0.25 = 0.5 のときだけ「=」を使います。
√3/8 と √(3/8) は別の数
√3/8 は √3 を 8 で割った数で、約 0.2165 です。√(3/8) は 3/8 全体の平方根で、約 0.6124 になります。
括弧の有無で、値は約 2.8 倍も変わります。ツールは √3/8 を前者として読み、後者のつもりなら括弧で囲むよう画面で知らせます。
よくある質問
負の数のルートは計算できますか？
実数の範囲には答えが無いので、理由を添えてエラーにします。2 乗して負になる実数は無いためです。
虚数 i を使えば √(−4) = 2i と表せます。このツールは実数だけを扱います。
√ の記号はどうやって入力しますか？
欄の横の「√ を入れる」ボタンで入ります。「ルート72」や「sqrt(72)」と書いても読み、√ を書かずに 72 と入れれば √72 として計算します。
どれくらい大きな数まで簡単にできますか？
1 つの数は 30 桁まで入ります。ルートの中を簡単にするのは、分子と分母がそれぞれ 24 桁以下のときです。
25 桁以上でも、1000 未満の素数で割って 24 桁以下になれば簡単にします。そうならず平方数でもないときは、小数の値だけを出して画面で知らせます。
開平法の表は何桁まで出ますか？
小数第 10 位までです。小数の桁数を 20 桁以上にしても、表は第 10 位で止め、そのことを表の上に書きます。
小数が終わらない分数（1/3 など）は、表の代わりに理由を出します。
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