平均±標準偏差に何%入る？68-95-99.7の法則と外れる場面
平均±標準偏差の範囲に入るのは約68%、±2倍で約95%、±3倍で約99.7%です。ただしこれは正規分布を仮定した数字です。偏ったデータ・二山・少ない件数で実際に数えると、どれだけずれるかを示します。
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この記事の要点
- 正規分布なら±1σに約68%、±2σに約95%、±3σに約99.7%が入る
- 偏ったデータでは、はみ出す値が片側に偏ることがある
- 形を問わずに言えるのは「±2σに75%以上」「±3σに88.9%以上」まで
- 10個以下のデータでは、±3σの外に出る値は原理的に現れない
- 手元のデータは境目を計算して数えれば、前提なしで割合が分かる
目次
データが正規分布に従うなら、平均±標準偏差の範囲にはおよそ 68% の値が入ります。 ±2 倍なら約 95%、±3 倍なら約 99.7% です。
正規分布は、左右対称の釣鐘型のうち、決まった形をした分布です。 同じ釣鐘型に見えても、裾の厚さが違う分布では割合が変わります。
この記事では、形の違う 4 つのデータで実際に数え、どこまで当てになるかを確かめます。
68-95-99.7 の数字の中身
標準偏差を σ（シグマ）と書くと、正規分布では次の割合になります。 外側の割合は、上と下に半分ずつ分かれます。
| 範囲 | 内側に入る割合 | 外側（上下の合計） | 上だけ・下だけ |
|---|---|---|---|
| 平均±1σ | 68.27% | 31.73% | 15.87% ずつ |
| 平均±2σ | 95.45% | 4.55% | 2.28% ずつ |
| 平均±3σ | 99.73% | 0.27% | 0.13% ずつ |
よく「95% の範囲は±2σ」と言われますが、ちょうど 95% になるのは±1.96σ です。 2σ は覚えやすく丸めた値だと考えてください。
上だけの割合は、偏差値から上位何%かを読むときにも使われます。 その読み方と注意点は偏差値から上位何%かを読む記事にまとめました。
4 つのデータで実際に数えた結果
ここからは、40 個ずつのデータ 3 種類と、5 個だけのデータで数えます。 標準偏差は母標準偏差（÷n）を使い、境目ちょうどの値は内側に数えました。
| データ | ±1σ | ±2σ | ±3σ |
|---|---|---|---|
| 正規分布に近い点数（40 人） | 65.0% | 95.0% | 100% |
| 右に裾が長い作業時間（40 件） | 87.5% | 92.5% | 97.5% |
| 二山に割れた点数（40 人） | 55.0% | 100% | 100% |
| 5 個だけ（2・4・6・8・10） | 60.0% | 100% | 100% |
| 法則の値 | 68.27% | 95.45% | 99.73% |
不偏標準偏差（÷n−1）で数え直しても、この 4 つでは割合が 1 つも変わりませんでした。 境目が少し外へ広がるだけで、その間に入る値がなかったためです。
正規分布に近い点数：ほぼ法則どおり
平均 60 点、標準偏差 11.84 点の 40 人分です。 ±1σ は 48.16〜71.84 点で、26 人が入りました。
68.27% に対して 65.0% です。 40 人だと 1 人が 2.5% にあたるので、1 人分ほどのずれにとどまります。
作業時間：外側が上にだけ集まる
8 分から 60 分までの作業時間 40 件で、平均 18.3 分、中央値 14 分です。 短い作業が多く、ときどき長くかかる作業が混ざる形です。
±1σ に入ったのは 87.5% と、法則より 19 ポイント多くなりました。 一方、±2σ の外に出た 3 件は、すべて上側でした。
法則どおりなら、外側の 4.55% は上下に半分ずつ分かれるはずです。 このデータでは下側の境目が −5.07 分になり、そもそも下にはみ出す値がありえません。
二山の点数：真ん中が空いている
できた人とできなかった人に分かれたテストの 40 人分です。 低い山は 28〜47 点、高い山は 72〜92 点に固まっています。
平均は 59.3 点ですが、その近くに人はいません。 ±1σ に入ったのは 55.0% で、法則より 13 ポイント少なくなりました。
±2σ には全員が入ります。 このデータでは、1σ では法則より少なく、2σ では多い方向にずれました。
5 個だけ：割合が 20% 刻みになる
2・4・6・8・10 の 5 個では、±1σ に入るのは 4・6・8 の 3 個です。 割合は 60% で、5 個では 0%・20%・40%……のどれかにしかなりません。
68.27% のような細かい数字と比べる意味は、件数が少ないほど薄れます。 標準偏差の求め方そのものは、この 5 個を例に標準偏差の求め方の記事で手順を追っています。
形を問わずに言える下限
分布の形が分からなくても、確実に言える下限があります。 チェビシェフの不等式と呼ばれる関係で、どんなデータにも当てはまります。
| 範囲 | どんな形でも、少なくとも入る割合 | 正規分布なら |
|---|---|---|
| 平均±1σ | 下限なし | 68.27% |
| 平均±2σ | 75% | 95.45% |
| 平均±3σ | 88.9% | 99.73% |
下限は 1 − 1 ÷ k² で求めます。 2σ なら 1 − 1/4 で 75%、3σ なら 1 − 1/9 で約 88.9% です。
上の 4 つのデータも、すべてこの下限を上回っています。 形が分からないまま「95% が入る」と言うより、「75% 以上は入る」と言うほうが確かです。
件数が少ないと±3σ の外には出られない
「±3σ の外にある値は外れ値」という目安を聞いたことがあるかもしれません。 ところが件数が少ないと、この目安では 1 つも見つかりません。
1 つの値が平均からどこまで離れられるかには上限があります。 母標準偏差で測ると、いちばん遠い値でも √(n−1) 倍までしか離れられません。
| 件数 | いちばん遠い値の距離（母標準偏差） | 不偏標準偏差で測ると |
|---|---|---|
| 5 個 | 2.00σ | 1.79σ |
| 9 個 | 2.83σ | 2.67σ |
| 10 個 | 3.00σ | 2.85σ |
| 11 個 | 3.16σ | 3.02σ |
10 個のデータで 9 個が 0、1 個だけ 100 という極端な例でも、100 は母標準偏差でちょうど 3σ の位置です。 10 個以下なら、どちらの標準偏差を使っても±3σ の外に出る値は現れません。
少ないデータで外れ値を探すときは、σ の何倍かよりも、最大・最小と中央値を見比べるほうが確かです。 外れ値の見分け方は標準偏差が大きい・小さいの目安の記事で紹介しています。
手元のデータで割合を数える手順
法則に頼らず、実際に何%入っているかを数える方法です。 数えた割合には前提がないので、どんな形のデータでもそのまま使えます。
- 平均と標準偏差を出す
- 平均−σ と平均＋σ を計算して、境目を 2 つ決める（2σ なら 2 倍して同じように）
- 境目の内側にある値の個数を数える
- 個数を全体の件数で割る
1 の平均と標準偏差は、平均・標準偏差計算ツールに数値を貼ると一度に出ます。 最小値と最大値も並ぶので、境目の外に値がありそうかどうかの見当もつきます。
数えた割合が法則と大きく違ったら、データの形を疑ってください。 平均と中央値の差や、境目の外の値が上下のどちらに偏っているかが手がかりになります。
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